Representación gráfica de funciones

Introducción al concepto de funciones.

En matemáticas llamamos función a una relación entre un conjunto X y un conjunto Y de forma que a cada elemento de x le corresponde únicamente un elemento de Y :ECUACIÓN.pngUn ejemplo de función, muy utilizado en catálogos de pinturas, podría ser la que relaciona determinados colores con un número:
ejemplo_colores.png
Sin embargo las funciones más utilizadas en matemáticas son las funciones numéricas en las que a cada número de X le asignamos un número de Y. Las más comunes de estas funciones son las expresadas de forma aritmética, por ejemplo f(x) = sen (x). Esta notación quiere decir que a cada elemento de X le asignamos el valor de su seno en Y.
La calculadora gráfica nos puede ayudar a representar esta función en un eje cartesiano en el que a cada valor del eje abscisas le corresponde un valor del eje ordenadas, de este modo llamamos al eje de abscisas “eje X” y al eje de ordenadas “eje Y”. Además con la calculadora gráfica también podemos realizar la representación gráfica de otras relaciones que no son funciones, como círculos elipses…etc., pues suponen que a algunos elementos de X le corresponde más de un valor de Y.
Representación de funciones con la calculadora gráfica.
Para acceder al menú en el que podemos introducir la expresión de funciones debemos pulsar la tecla Y = a continuación aparece la ventana:
SCREEN01.JPG
En esta pantalla insertamos la función o función que queremos representar, por ejemplo la función sen x, para ello pulsamos la teclas sin y X,T,Θ,n de modo que la pantalla queda así:
SCREEN02.JPG
Para obtener la representación de la función o funciones que hemos insertado simplemente tenemos que pulsar la tecla GRAPH:
SCREEN03.JPG

Ajustes de la pantalla
Las funciones se representan por defecto en una ventana de 20x20, en ocasiones, como en el ejemplo anterior, puede ser conveniente aumentar o disminuir el tamaño de esta para ver mejor la función. Esto lo podemos conseguir de dos maneras:
1) Utilizando la tecla WINDOW:
Presionando la tecla WINDOW llegamos a la siguiente pantalla:
SCREEN_04.JPG
Cambiamos los valores por defecto por los que queramos, en el caso de la función seno, como es una función cuyos valores varían entre 1 y -1 podemos poner que los valores de la Y de la pantalla estén comprendidos entre 1,5 y -1,5, y como es una función periódica de periodo 2π, el eje de las x podemos ponerlo definido entre 0 y 2π:
SCREEN05.JPG
Cuando nosotros introducimos 2π, la calculadora automáticamente pone el valor numérico:
SCREEN06.JPG
Una vez seleccionada la ventana en la que deseamos ver la gráfica pulsamos la tecla GRAPH, en nuestro caso la ventana quedaría:
SCREEN07.JPG
2) Utilizando la tecla ZOOM:
Presionando la tecla ZOOM aparece la siguiente pantalla:
SCREEN08_ZOOM.JPG
La primera opción, ZCaja, es la más interesante, nos permite trazar un rectángulo comprendiendo un cierto área de la ventana, de modo que a continuación vemos únicamente esta área, para ello pulsamos 1, con lo que seleccionamos ZCaja, a continuación debemos demarcar el área que queremos observar, para ello debemos marcar dos puntos, que serán los vértices opuestos del triángulo que delimita el área. En la representación de la gráfica aparece un punto que podemos ir moviendo y cuando lo hemos colocado en el lugar deseado pulsamos ENTER para fijarlo:

SCREEN09_ZOOM.JPG

A continuación marcamos el otro punto:
SCREEN10_ZOOM.JPG

Y en el momento en el que pulsamos ENTER aparece directamente la pantalla deseada:
SCREEN11ZOOM.JPG

Calculo de Valores, Raíces, Máximos y Mínimos.
La calculadora gráfica no solo nos sirve para representar funciones, sino que también nos permite hallar el valor en un punto, las raíces y los extremos relativos de una función.
La función que vamos analizar, como ejemplo, es ecuacion_para_el_calc.png cuya gráfica es:
SCREEN12_CALC.JPG

Para acceder a estas opciones debemos pulsar 2ND y a continuación TRACE (la segunda función de la tecla TRACE es CALC), con ello accedemos al siguiente menú:
SCREEN13_CALC.JPG


Valor en un punto
Para calcular el valor exacto de la función sabiendo el valor de la x, una vez en la menú anterior pulsamos 1 , con lo que aparece la pantalla siguiente, en la que introducimos el valor de la x que queramos, en nuestro caso 1,2:
SCREEN14_CALC.JPG



Pulsamos la tecla ENTER y nos aparece el valor y que corresponde a ese valor x, en el caso de nuestra función es 1,4231808:


SCREEN15CALC.JPG


Raíces
Si en el menú de cálculo pulsamos la tecla 2 podremos calcular una de las raíces de esa ecuación, no podemos calcular todas las raíces a la vez, pero podemos ir calculando de una en una. Cuando hemos pulsado la tecla 2 la calculadora nos pide que le demos una acotación de donde se encuentra esta raíz, primero tenemos que marcar un valor de x por la izquierda de la raíz, a continuación otro por la derecha, y finalmente uno aproximación. Es importante que estos tres puntos sean tres puntos diferentes, y que obviamente, la aproximación se encuentre entre el extremo por la izquierda y el extremo por la derecha. En realidad no es muy importante que la acotación sea muy precisa, pero sí que es importante que en ese intervalo no haya más raíces. A continuación se muestra el proceso, primero marcamos la aproximación por la izquierda, para ello movemos el punto que aparece hasta el punto que vamos a dar como aproximación y pulsamos ENTER:

SCREEN16_CALC.JPG



A continuación marcamos el extremo por la derecha para ello movemos el punto que aparece hasta el punto que vamos a dar como aproximación y pulsamos ENTER:
SCREEN17CALC.JPG

Finalmente damos una aproximación colocando el punto que aparece en un lugar cercano a la raíz y pulsando ENTER:


SCREEN18CALC.JPG



Y pulsando ENTER nos da el valor:
SCREEN19CALC.JPG

Máximos y Mínimos
El cálculo de máximos y mínimos con la calculadora es semejante al cálculo de las raíces, con la diferencia de que en este caso la acotación la hacemos alrededor de un mínimo en lugar de una raíz. Para obtener el valor de un mínimo relativo tenemos que pulsar, una vez en el menú de cálculo, la tecla 3, y para obtener un máximo relativo, la tecla 4. En las siguientes pantallas se observa el proceso, que es el mismo que el de obtener una raíz.
Acotamos por la izquierda:
SCREEN20CALC.JPG


Acotamos por la derecha:
SCREEN21CALC.JPG

Y hacemos una aproximación:
SCREEN22CALC.JPG



Con lo que nos da el valor del mínimo relativo:
SCREEN23CALC.JPG



Jorge Moliner Malaxechevarría


EJERCICIO DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1
Se nos pide representar la gráfica de f(x) = sen3x + sen6x , 0 ≤ x ≤ 2π, además tenemos que hallar el período exacto de la función. Para este ejercicio emplearemos la calculadora gráfica de Texas Instruments, el modelo TI – 84 Plus
Para la representación gráfica seleccionamos la opción Y = de la calculadora gráfica e introducimos la función mencionada. Una vez escrita la función, seleccionamos la opción GRAPH. Aparecerá una ventana con el eje de coordenadas y la función representada. Como se nos dice que el valor de X está entre 0 y 2π, podemos ajustar la ventana a esos valores de x.
Para trabajar con esta configuración seleccionamos la opción WINDOW e introducimos los valores deseados. La pantalla que aparece es la siguiente:
WINDOW.JPG

En la calculadora, los valores aparecen como decimales, pero se introducen en forma de fracción, siendo entonces los valores:
Xmin = 0Xmax = 2πXscl = π/4Ymin = -2Ymax = 2Yscl = 1
Para salir de esta pantalla y ver la gráfica representada, pulsamos la tecla GRAPH. La pantalla que aparece en este caso es:
GRÁFICA.JPG

Cómo también nos piden hallar el período de la función, seleccionamos la opción CALC pulsando las teclas 2ND y después TRACE. Con la pantalla en CALCULATE, tal como muestra la imagen siguiente, elegimos la opción 2: zero.
CALCULATE.JPG


Como observamos en la gráfica, el de la gráfica está entre el π/2 y el 3π/4. Por esta razón, como Left bound elegimos un valor cerca de π/2 y como Right bound un valor próximo a 3π/4. En este caso para movernos por la gráfica utilizamos el panel de control:
PERIODO.JPG


Para que la calculadora halle el valor en el que la coordenada Y se hace 0, pulsamos ENTER
VALOR.JPG


Sabemos que la calculadora nos da el valor en número decimal, pero podemos transformar este valor en un número fraccionario. Para ello multiplicamos el valor obtenido por 4 y dividimos el resultado entre el número π. Tras operaciones obtenemos el valor 2’66666667. La fracción generatriz de este número periódico es 8/3.
Como anteriormente hemos multiplicado por 4 y dividido entre π, ahora invertimos las operaciones, multiplicando por π y dividiendo entre 4. El resultado final es de 2π/3.
Para comprobar si este resultado es el correcto, cambiamos la configuración de la pantalla de X (Xmax y Xscl) a 2π/3. Para esto pulsamos la tecla WINDOW y nos movemos con el panel de control hasta la opción Xmax. La pantalla obtenida en este caso es:
WINDOW_1.JPG


Pulsamos la tecla GRAPH para que aparezca representada la función:
FUNCION.JPG
En esta gráfica vemos de forma clara que queda representado el periodo, por lo que confirmamos que el periodo es 2π/3.

Lorena Tubilleja



EJERCICIO DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 2
Sea f(x) = ln |x5 – 3x2|, -0’5 < x < 2, x ≠ a, x ≠ b; siendo a y b los valores en los que la función no está definida.
Tenemos que dibujar la gráfica de f(x) e indicar los valores en los que la función es cero, así como las asíntotas de f(x) y los valores exactos de a y b. Para ello pulsamos la tecla Y = e introducimos la función pulsando LN , MATH , , 1 , X,T,θ,n , ^ , 5 , pulsamos la flecha derecha del panel de control, , 3 , X,T,θ,n , x2 en la pantalla aparecerá:

GRAFICA_1.JPG


Pulsamos la tecla GRAPH . La gráfica que obtenemos es la siguiente:
GRAFICA_2.JPG



Pulsamos la tecla WINDOW para ajustar el contenido de la pantalla y ponemos los valores como se muestra en la figura:
GRAFICA_3.JPG



Pulsamos de nuevo GRAPH y aparece la pantalla siguiente
GRAFICA_4.JPG



Como se observa, en el intervalo establecido hay tres punto de corte de la función con el eje X. Para hallar estos puntos de corte lo haremos con la gráfica

1. Pulsamos 2ND y después TRACE .
GRAFICA_5.JPG



2. Seleccionamos la opción 2: zero. Como Left bound elegimos un valor próximo al punto de corte por la izquierda utilizando el panel de control. Hacemos lo mismo para seleccionar un valor próximo al punto de corte por la derecha (Right boud).
GRAFICA_6.JPG

3. Pulsamos ENTER
GRAFICA_7.JPG

4. Repetimos este proceso con los tres puntos de corte
GRAFICA_PC_1.JPG

GRAFICA_PC_2.JPG

En la gráfica de la función vemos que tiene dos posibles asíntotas verticales, para hallarlas debemos hacer los límites de la función.

Para hallar estos límites, representamos en la calculadora la gráfica. Pulsamos 2ND y . WINDOW tenemos que dar los valores siguientes:
GRAFICA_8.JPG


Después pulsamos 2ND y después GRAPH , aquí aparecen los valores que toma la función, con el panel de control nos desplazamos. En esta pantalla vemos que en X = 0 la función no está definida, por lo que una asíntota es X = 0.
GRÁFICA_9.JPG





Por lo tanto, la función con las asíntotas representadas es:
GRAFICA_11.JPG

Como hemos visto, los valores para los que f(x) no está definida son X = 0 y X = 3⅓

Lorena Tubilleja


EJERCICIO DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 3

ger1.jpg


a) Dado f(x) dibujar un bosquejo de la gráfica f(x). Sobre su gráfico indique una posición aproximada de cada cero; cada punto máximo; cada punto mínimo.
b) Halle las abscisas de los puntos máximos y mínimos de f(x), entre -1 y 1 ambos incluidos.


a) Para realizar el bosquejo de la gráfica pulsamos la tecla Y=, Introducimos nuestra ecuación y ajustamos el rango de la ventana para tener una mejor vista de la función.

Para calcular los ceros de la gráfica tenemos que pulsar la tecla "2nd" y seguidamente "TRACE" para entrar en el menú "CALC", una vez dentro del menú pulsamos el número 2 y acotamos las zonas donde la función se anula resultándonos 3 ceros en los puntos (-1,0), (0,0) y (1,0).

Para calcular cada punto máximo volvemos a entrar en el menú "CALC" como hicimos anteriormente pero esta vez pulsamos el 4, acotando nos resultan 2 máximos: en el punto (-1,0) y (0,65465408, 0,45080242) .

Para calcular los mínimos entramos en el menu "CALC" y pulsamos el número 3, acotando nos resultan 2 mínimos en los puntos (-0,65465408, -0,45080242) y (1,0).



b) Los puntos máximos y mínimos son los que hemos determinado anteriormente máximos en (-1,0) y (0,65465408, 0,45080242) y mínimos en (-0,65465408, -0,45080242) y (1,0).



Germán Barbero


C-4. Se dibuja un rectángulo cuyos vértices inferiores se encuentran en el eje OX y cuyos vértices superiores se encuentran en la curva y = senx, siendo 0 ≤ x ≤ π.
a) Escriba una expresión para el área del rectángulo
b) Halle el área máxima del rectángulo
Seleccionamos la opción Y= para representar la función. Después pulsamos GRAPH. En la pantalla WINDOW damos los valores:
- Xmin = 0
- Xmax = π
- Xscl = π/2
- Ymin = -0.01
- Ymáx = 1
- Yscl = 1



RECT_1.JPG

Pulsamos de nuevo GRAPH


RECT_2.JPG

Para dibujar el rectángulo seguimos los pasos siguientes:
1. Pulsamos 2ND, PRGM , y seleccionamos la opción A: Pen
2. Nos desplazamos con el cursor por la pantalla para dibujar pulsamos ENTER.


RECT_3.JPG

La altura del rectángulo es sen(x), y su base 2x como se muestra en la figura siguiente


rect_4.JPG

Por esta razón, el área del rectángulo será Al = 2xsen(x)
El área máxima del rectángulo se alcanzará cuando sen(x) sea igual a 1. Esto ocurre cuando x = π/2. Por esta razón, el área máxima del rectángulo será π.
Lorena Tubilleja Ruiz